Cables: catenaria y otros

El tema de cables o hilos, siempre me ha resultado especial. Primero porque incluye una importante carga matemática y segundo porque al ser una palabra demasiado genérica, no es fácil encontrar información sobre este tema en internet, así que he realizado muchas más búsquedas relativas al tema de cables que de ningún otro tipo de estructura.

En este post, voy a simplificar y voy a exponer cuáles son los principales tipos de problemas que podemos encontrar. Para ello me volveré a servir del material docente que me enviaron al comprar el libro de Beer and Johnson.

Creo que sobran presentaciones y definiciones, pues todos sabemos lo que es un cable, así que vamos a estudiar directamente los 4 casos más comunes que existen, en función del tipo de carga que le haya sido aplicada. Tenemos que recordar que para el estudio de cables, al menos a este nivel, consideramos que son inextensibles y que estos trabajan exclusivamente a tracción. En muchos manuales también se indica que la longitud es bastante más grande que la sección pero creo que esto resulta bastante obvio.

Tipo 1: Cable sujeto a fuerzas puntuales:

Los cables sujetos a cargas puntuales toman una configuración tipo polígono tal y como se puede ver en la figura que se muestra más abajo. En este tipo de ejercicios podremos utilizar las tres ecuaciones de la estática más una adicional, como resultado de considerar que un cable es un modelo de viga con un número infinito de rótulas. Esto nos permite tener una condición adicional que consiste en igualar a cero el sumatorio de los momentos para una mitad del cable (ver como se procede en el punto D de las siguientes figuras). Esto resulta de vital importancia pues normalmente tenemos dos soportes fijos con cuatro reacciones, por lo que se necesitan otras 4 ecuaciones.

Además, se pueden utilizar otra condición común, general para todos los cables, y es la condición de tensión máxima en los apoyos (cuando se encuentren en el punto con mayor cota) que se puede obtener de forma vectorial en función de x e y utilizando el teorema de Pitágoras. Un esbozo de este tipo de problema es el siguiente:

Figura 1

Para el análisis de este tipo de cables además hemos considerar que:

  1. Las cargas son verticales.
  2. El peso del cable se puede despreciar.
  3. Los tramos de cable entre dos puntos se pueden tratar prácticamente como si fueran rígidos.

La configuración de fuerzas aplicadas se puede ver más claramente en la figura siguiente, en la que tenemos un cable apoyado en dos soportes A, B y sometido a tres fuerzas puntuales verticales descendentes P1 , P2 y P3.

A

Por otra parte, la cuarta ecuación que hemos mencionado antes se puede obtener separando el cable en el punto D y tomando momentos en la mitad del cable, de manera similar a como hemos hecho ya en vigas:

B

Tipo 2: Cable sujeto a cargas distribuidas:

En este tipo de ejercicios, la fuerza soportada por el cable se encuentra distribuida a lo largo de este, pero la densidad de carga no será constante como en el problema tipo 3 de cables parabólicos. No es el problema más común puesto que en general, la carga suele seguir una distribución constante.

CPara este tipo de cables, al igual que para los que vienen a continuación, se les puede aplicar una condición adicional, y es que en caso de ser simétricos la carga se puede distribuir de igual manera en ambos soportes (teniendo en cuenta también la distribución de la carga).

Además, hay que tener en cuenta (también válido para catenarias y cables parabólicos) que la tensión horizontal será constante y que el punto de mayor tensión será el que se encuentre más arriba. Ahora si aislamos una parte del cable, aparecen las siguientes tensiones que son calculadas como se muestra en la figura.

E

Tipo 3: Cable parabólico.

Es un caso particular del anterior, en el que la densidad de carga es constante. Podemos ver muchos ejemplos de este tipo de cables en la vida real (puentes y otras estructuras). Su configuración es la siguiente:

Figura 3Ahora, teniendo en cuenta que la distribución w es constante, podemos particularizar las ecuaciones que rigen el comportamiento de este cable a partir del caso 2, obteniendo así la altura es función del cuadrado de x, es decir, sigue una curva tipo parábola, y de ahí su nombre.

F

Tipo 4: Catenaria.

El modelo de cable por excelencia, ya que aparece en una infinidad de casos en la naturaleza. Por ejemplo los tendidos eléctricos, una cadena, o una tela de araña son ejemplos de catenaria. En este caso, el cable solo está sujeto a su propio peso. El concepto parece sencillo, sin embargo es el que contiene una mayor carga matemática.

Figura 5Para determinar completamente la catenaria es necesario conocer su longitud. Para este fin se pueden considerar las tensiones verticales y horizontales siguiendo el siguiente esquema:

 zzz

Por último, hay que saber determinar la altura en cualquier punto del cable, lo que además es necesario para calcular la tensión vectorial en cada punto. Esta es proporcional a su altura (T = cy).

X

Bien, qué tal ha ido esta breve descripción del tema? Quieres demostrar toda tu pericia resolviendo los 3 ejercicios que adjunto con solución a continuación?

Soluciones ejercicios cables.

Queréis profundizar más? Echad un vistazo a los apuntes del profesor Goicolea Ruigómez en el siguiente link. Es un trabajo buenísimo, de lo mejor que he visto sobre cables en español.

Apuntes estática de cables UPM

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