Cuánto sabes de estructuras? (III) El principio de los trabajos virtuales

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El Principio de los Trabajos Virtuales (P.T.V.) fue empleado por primera vez por Galileo (1564-1642) en el cálculo de mecanismos. Sin embargo fue enunciado de una forma más rigurosa por Lagrange (1736-1813), ya que este desarrolla la teoría variacional y sienta las bases de la “Mecánica Analítica”.

Este principio también fue enunciado por Johann Bernouilli en el año 1717 de la siguiente manera: Dado un cuerpo rígido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un desplazamiento virtual, es nulo.

Otra forma de enunciarlo, tal y como lo haríamos a día de hoy es la siguiente:

Un sistema material está en equilibrio en una cierta posición para cualquier desplazamiento compatible con los enlaces cuando la suma de los trabajos virtuales de las fuerzas directamente aplicadas sea nulo.

Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:

 {\delta \ W} =  \sum_{i=1}^{n} {F\delta\\V_{i}+M\delta\\\varphi_{i}}

Donde:

 {\delta\\V_{i}} : son los desplazamientos virtuales.

 {\delta\\\varphi_{i}} : son las rotaciones virtuales

Este método es bastante útil a la hora calcular posiciones de equilibrio en mecanismos (por ejemplo el clásico de biela-manivela), o bien en el cálculo de algunas reacciones en vigas o pórticos con varios soportes, en cálculos con estructuras reticuladas, en sólidos deformables, etc.

La metodología o los pasos que al menos yo procuro seguir y que siempre recomiendo son las siguientes:

  • Se estiman los posibles trabajos virtuales (ojo! Si el desplazamiento es distinto de cero en dos soportes no podrás calcular nada pues obtendrás una ecuación con dos incógnitas). Estos posibles trabajos virtuales deben ser compatibles con la geometría de la estructura.
  • A la hora de definir los desplazamientos virtuales es útil considerar que en muchos casos la rotula es un punto de cambio de tendencia (es decir a partir de este punto si los desplazamientos crecían comienzan a decerecer y viceversa).
  • Se formula la ecuación general de los desplazamientos virtuales, esto es, cada fuerza por su desplazamiento virtual (análogo para momentos). Obtenemos una ecuación con varias incógnitas.
  • Parametrizamos la ecuación anterior para así obtener otra con dos incógnitas, con una de ellas común a todos los términos y diferente a cero que puede ser simplificada.
  • Si hemos calculado previamente el valor de la reacción mediante las ecuaciones de equilibrio de la estática, podemos chequear el resultado. Si está mal o bien ha sido causa de un cálculo numérico erróneo o bien hemos empleado una geometría que no era compatible con la estructura.

Bien, has entendido en que consiste el principio de los trabajos virtuales? Te atreves a calcular las reacciones en el siguiente ejercicio que te propongo? Inténtalo y si no te sale consulta la solución que adjunto.

Espero que os sirva para vuestro estudio!

Solución ejercicio PTV

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