27 August, 2013

Pandeo, buckling o columnas

By IngMario Mecánica de Estructuras 2 Comments

[latexpage]
El pandeo o en ingles buckling (en algunos libros también se estudia dentro del tema dedicado a columnas) es un fenómeno de inestabilidad elástica que puede darse en elementos del tipo pilares o columnas y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos transversales. Por tanto, a la hora de diseñar columnas, no solo hay que evaluar la máxima tensión normal o tangencial que esta pueda soportar, sino también la resistencia frente a pandeo.

FÓRMULA DE EULER PARA PANDEO :

Vamos a comenzar el estudio y a deducir la fórmula de Euler que describe matemáticamente este fenómeno. Partamos de la siguiente columna que vamos a cortar en un punto arbitrario para hacer un análisis de fuerzas internas:

De esta forma y conociendo las relaciones que deducimos en el post de deflexión y flecha tenemos que:

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}+\frac{Py}{EI}= 0$

Resolvemos la ecuación diferencial:

$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}+\alpha y = 0$

$\alpha ^{2}= \frac{P}{EI}$

$y= C_{1}\sin \alpha x + C_{2}\cos \alpha x$

Y ahora para el cálculo de las constantes utilizamos condiciones de contorno:

$y(x=0)=0$

$C_{2}=0$

$y(x=L)=0$

$C_{1}= \sin\left ( \alpha L \right )=0\rightarrow \alpha L=n\pi$

$\alpha ^{2}=\frac{P}{EI}=\left ( \frac{\pi .n}{L} \right )^{2}$

$P=\frac{\pi ^{2}n^{2}EI}{L^{2}}$

Y esta es la función obtenida para la carga. Se observa que en función del valor de “n” tenemos diferentes modos de pandeo. Esto requiere un estudio algo más profundo que se puede consultar en referencias como:

Presentación columns: buckling curso Mc-Graw Hill

Apuntes Pandeo Universidad de Salamanca

sin embargo el objetivo de este post no es el de profundizar, sino el de adquirir los conocimientos básicos de una manera rápida y sencilla.

Por otra parte, se define como carga crítica (curiosamente este término está definido solo algunas referencias) como la carga axial máxima que se puede aplicar sin producir el pandeo de la columna:

$P_{cr}=\frac{\pi ^{2}.E.I_{min}}{L^{2}}$

Para emplear esta ecuación hay que tener en cuenta que este modelo es solo aplicable para columnas ideales con condiciones esbeltez, prismáticas y elásticamente lineales. Por lo tanto y según el valor de la carga aplicada, tenemos tres casos:

a) P=P_crexiste una situación de equilibrio indiferente

b) P<P_crexiste una situación de equilibrio estable

c) P>P_crexiste una situación de equilibrio inestable

Ahora y considerando que la inercia es área por distancia al cuadrado: I=A.r², se tiene que:

$\sigma _{cr}=\frac{P_{cr}}{A}=\frac{\pi ^{2}n^{2}EI_{min}}{A.L^{2}}{}=\frac{\pi^{2}.E.\left (Ar^{2} \right )}{AL^{2}}=\frac{\pi^{2}.E}{\left ( \frac{L}{r} \right )^2}$

Donde el cociente L/r es el coeficiente de esbeltez y este determina la estabilidad de la columna. Por ejemplo para un material con σ_y = 250 MPa y E= 200 GPa, este límite según vemos en el diagrama sería igual a 0,89:

EXTENSIÓN DE LA FÓRMULA DE EULER:

Una columna soportada por un extremo pero con el otro libre, se comportará como la mitad superior de una columna como la de la siguiente figura:

En este escenario, la carga crítica se define con una longitud equivalente igual a dos veces la longitud.

$P_{cr}=\frac{\pi ^{2}.E.I_{min}}{L_{e}^{2}}$

De donde se deduce que la configuración de los soportes de la columna, tendrá una influencia vital para calcular la carga crítica de pandeo. Así, según estén dispuestos los soportes tenemos:

Bien, hasta aquí una breve introducción que nos servirá para resolver un gran número de ejercicios sobre pandeo sin hacer un estudio demasiado profundo del tema. Empecemos con uno sencillo:

Ejercicio 1:

Se tiene una viga biapoyada. Determinar su carga crítica de pandeo, sabiendo que:

$I_{x}=13,32.10^{6} mm^{4}$

$I_{y}=16,77.10^{6} mm^{4}$

Solución:

Y ahora surge la típica duda que se tendría en un examen…cuál de las dos inercias utilizamos para sustituir en la ecuación. Obviamente la más conservadora, es decir la menor. Y por qué? Porque está nos dará una carga crítica menor que es el valor límite que no podemos superar. Si lo hiciéramos con el máximo valor podríamos encontrarnos en zonas donde sí que se produciría pandeo en la dirección del otro eje.

$P_{cr}=\frac{\pi ^{2}.E.I_{min}}{L^{2}}=\frac{\pi ^{2}.220\ GPa\ 13,32.10^{6}.{mm^{4}}}{5^{2}\ m^{2}}=1156,87\ kN$

Ejercicio 2:

La columna de la figura siguiente tiene una sección como la que se muestra. Determinar la carga central permitida para la columna con su tensión correspondiente, teniendo en cuenta que debe respetarse un coeficiente de seguridad igual a dos.

La longitud equivalente de la columna por estar empotrada en uno de sus extremos es L_e=2L, luego L_e=2.8=16 ft =192 inches. También se conoce el módulo de Young E = 29.10⁶PSI.

Solución:

$P_{cr}=\frac{{\pi }^2.E.I_{min}}{L_{e}^{2}}=\frac{{\pi }^2.29.10^{6}\ PSI.8\ in^{4}}{192^{2}\ in^{2}}=62,1\ kips$

Y finalizamos el cálculo de una manera sencilla:

$C_{s}=\frac{P_{cr}}{P_{all}}\rightarrow P_{all}=\frac{62.1\ kips}{2}=31.05\ kips$

$\sigma =\frac{P_{all}}{A}=\frac{31.05\ kips}{3.54\ in^{2}}=8.79\ ksi$

Y ahora para finalizar cuelgo dos vídeos, uno primero en el que podemos ver un ensayo de pandeo y otro segundo que es un videotutorial sobre análisis de pandeo en SAP2000. Muy instructivos ambos videos.

Pues bien, con esto es yo creo que es más que suficiente para al menos defenderse un poco con el tema del pandeo. Ahora que volvemos del verano intentaré volver a la tónica de escribir un post cada 5 o 6 días, pero de momento, a disfrutar de las vacaciones para los que todavía las tienen!