Coeficientes de seguridad

Los criterios de fallo y los coeficientes de seguridad utilizados en resistencia de materiales y mecánica de estructuras, son un tema que puede ser relativamente sencillo si se entiende bien, lo cual no siempre ocurre.

Con el tiempo, he ido comprobando que mucha gente no siempre termina de entenderlos correctamente, bien sea porque al consistir en una sencilla operación algebraica se suelen estudiar menos, o bien por la amplia variedad de conceptos que subyacen sobre ellos.

Por eso, y ante las numerosas veces que se escucha la pregunta: ¿Cuál de ellos es más conservador? ¿Cuándo utilizo uno y cuanto utilizo otro? Voy a tratar de proporcionar un par de ideas que a mi entender ayudan a comprenderlo mejor. Y sobre todo a entender mejor que los coeficientes de seguridad no son un simple numerito, sino toda una filosofía de diseño. Quiero advertir por ello, que para estudiar realmente con rigor este es necesario consultar bibliografía más detallada como la que se adjunta al final.

En este post vamos a hablar por tanto de algunas teorías de fallo utilizadas en ingeniería que tratan de predecir cuando el material colapsará, lo que en muchos casos significará superar el límite elástico y pasar al dominio plástico. Estas teorías proporcionan grosso modo, un valor de tensión e) que es equivalente al inicial dado por las tres tensiones principales 1, σ2, σ3), pero al venir dado por un solo valor, es más fácil de comparar con otros de referencia.

De esta forma lo que vamos a hacer es básicamente determinar la tensión equivalente mediante algunos de los criterios, y finalmente dividir la tensión máxima entre esta para así determinar finalmente el coeficiente de seguridad. Bien, pues después de esta introducción, comencemos.

De manera general, cuando dos o tres de las tensiones principales de un solido deformables sean distintas de cero, es posible determinar la deformación permanente, es decir, cuando se sobrepasa la región elástica, mediante las denominadas teorías de resistencia o de fluencia. Las más utilizadas en función del tipo de material son:

(1) Materiales dúctiles (como el acero):

Criterio de Tresca (o de la tensión cortante máxima). Es la más conservadora y sencilla y debido a eso es la que se emplea en la sección III del código ASME (American Society of Mechanical Engineers). La tensión equivalente es la diferencia entre la tensión máxima y mínima:

Una vez tenemos las tres tensiones principales, según este criterio se tiene que si: σ> σ2  > σ3 entonces:

\tau _{max}=\frac{\sigma _{1}-\sigma_{2}}{2}

A veces para evitar dividir entre dos se utiliza el concepto de intensidad de tensión equivalente:

\sigma _{e}= \sigma _{1}-k\sigma _{3}

Siendo k el cociente entre los límites elásticos a tracción y compresión del material.

Criterio de Von Mises: magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Viene dada por la siguiente ecuación:

ScreenHunter_003

Siempre resulta interesante ver la representación gráfica de los dos criterios anteriores para resolver la eterna pregunta de cual de ellos es más conservador:

von mises

Como se puede observar, el área de la elipse de Von Mises es mayor y por lo tanto, existirán estados tensionales permitidos por esta teoría pero no por la de Tresca y es por este simple motivo por el que en general, el criterio de Tresca se considera más conservador. 

(2) Materiales frágiles: (hormigón, el hierro fundido, etc.)

En este caso podemos utilizar el siguiente criterio:

Criterio de Rankine: predice que un punto material falla cuando, bien la tensión principal mayor σ1 alcanza la tensión de rotura a tracción σrt, o bien la menor tensión principal σ3 alcanza la tensión de rotura a compresión σrc.

materiales frágiles

Hay que señalar que esta teoría no está completamente aceptada. Según diferentes fuentes biobliografícas, se puede utilizar razonablemente para algunos materiales como el hierro fundido, pero con algunas limitaciones.

El motivo, de que esta aplicación no sea totalmente aceptada, es que de ser cierta, se produciría la rotura por equicompresión cuando las tres tensiones principales fueran iguales a σc lo cual no es consistente con los ensayos que han sido realizados.

No obstante como he indicado antes, es interesante incluir esta teoría para entender la diferencia entre la aplicación de criterios con materiales dúctiles y frágiles aunque sea desde un punto de vista más didáctico.

Una última representación gráfica de los 3, tomada del completo libro de Mecánica de Estructuras de Miguel Cervera Ruiz, del que se pueden conseguir algunos fragmentos como este en Google books, es la siguiente:

ScreenHunter_001

Y existen todavía más criterios, como la teoría de Mohr, la teoría tensional tangencial octaédrica etc. Sin embargo, para movernos dentro del ámbito académico y para simplificar, veremos estas tres que podremos entender mejor a partir del siguiente ejemplo:

Sea un estado bidimensional de tensiones dado por la siguiente matriz (todas las unidades en MPa):

\begin{bmatrix} \sigma _{x} & \tau _{xy}\\\tau _{yx}\ & \sigma _{y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\5 & -5 \end{bmatrix}

Supondremos que al sólido se le pueden aplicar modelos frágiles y dúctiles y que su tensión de fluencia (σel) es 20 MPa. Con toda esta información vamos a determinar los coeficientes de seguridad de dicho estado tensional plano según los tres criterios vistos.

El primer paso consistirá en cálcular los autovalores de la matriz, para obtener las tensiones principales. Esto se puede hacer gráficamente o mediante múltiples herramientas como la que puedes encontrar en Mathtools obteniendo que:

 σ= 11,51,  σ= -6,51  y obviamente  σ= 0

Ahora con estos inputs, podemos determinar los coeficientes de seguridad:

a) Según el criterio de Rankine: 

C_{s}=\frac{\sigma _{el}}{\sigma _{1}}=\frac{20}{11,51}=1,73

b) Según el criterio de Tresca (considerando k=1):

C_{s}=\frac{\sigma _{el}}{\sigma _{1}-\sigma _{3}}=\frac{20}{18,02}=1,10

c) Según el criterio de Von Mises:

ScreenHunter_003

Sustituyendo valores resulta: 

C_{s}=\frac{\sigma _{el}}{\sigma _{eq}}=\frac{20}{15,80}=1,26

Y de esta forma hemos obtenido los criterios de seguridad utilizando tres de las teorías de fallo.

Bien, pues espero que a pesar de lo complejo que realmente puede llegar a ser el tema, os haya sido de utilidad. Algunos documentos de referencia son los siguientes:

Apuntes del grupo de ingeniería mecánica de la universidad de Salamanca

Apuntes OCW de la Universidad Politécnica de Cartagena

Y para finalizar un par de videos interantes sobre el tema:

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